中学：2次方程式

$x^2 - 2x - 2 = 0$ は共通因数なし、たすき掛けもできないから、解の公式で解く。 \(\begin{aligned} x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{4 -4 \cdot (-2)}}{2} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ &= 1 \pm \sqrt{3} \end{aligned}\)

判別式 $D/4 = (-k)^2 - (k+2) = k^2 - k - 2$ 実数解をもつ条件は $D \geqq 0$ なので、 $k^2 - k - 2 \geqq 0 \iff (k-2)(k+1) \geqq 0$ よって、$k \leqq -1, 2 \leqq k$ です。

$y = 2(x^2 + 2x) + 5 = 2(x+1)^2 - 2 + 5 = 2(x+1)^2 + 3$ よって、頂点の座標は $(-1, 3)$ です。